MARZO

 SEMANA 5:

*     Martes 4 de marzo: VACACIONES CARNAVAL.

*     Viernes  7 de marzo: CLASE #9:
Repaso y corrección de el trabajo en clase enviado el anterior viernes.
Ejercicios de derivadas, mediante la defición por límites:
 
FUNCIONES ANALÍTICAS:


En matemática una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente.
Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.
En el caso de las funciones complejas analíticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho más sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales del análisis complejo:
Una función compleja f : D ⊆ C → C derivable en un abierto U, es analítica en U.
Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables:
Una función compleja f : D ⊆ Cn → C diferenciable en un abierto U es analítica en U.
 Propiedades:
1) Si f(z) = u(x,y)+iv(x,y), analítica en algún dominio, entonces u y v satisfcen las enciaciones de Cauchy - Rienmann para todo (x,y) del dominio:
(1a)     \dfrac{ \partial u }{ \partial x } = \dfrac{ \partial v }{ \partial y }

(1b)    \dfrac{ \partial u }{ \partial y } = -\dfrac{ \partial v }{ \partial x }
 2) Si u(x,y) y v(x,y) y sus primeras derivadas parciales son continuas y además cumplen las ECR, la función f(z) es analítica.
3) Sea f(z) analítica en un cierto dominio, entonces u y v son armónicas, es decir, cumplen:


SEMANA 6:
  
*     Martes 11 de marzo: CLASE #10
Se realizaron ejercicios de determinación de funciones analíticas, un ejercicio de demostración de cumplimiento de las ecuaciones de cauchy - rienmamm en un punto del plano complejo.

 EJEMPLOS:





*     Viernes 14 de marzo: CLASE #11

                                                   INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS
Cuando integramos en el plano complejo se aplican las mismas leyes de integración que en las funciones reales, excepto para funciones completamente complejas como la conjugada o el módulo.


  •  En el caso de números reales la integral se mantiene como una aproximación de la suma de Riemann.
  •  Las integrales en el plano complejo se analiza en una curva "c" en lugar de las sumas de Riemann.
  • Para las funciones de variable compleja las integrales cerradas presentan propiedades especiales (Integrales de Cauchy).



    •
    CURVAS EN EL PLANO COMPLEJO

    Una curva γ en el plano complejo es el conjunto de puntos (x,y) que pertenecen a RxR, tal que:

    γ =    { x=x(t)                a <= t <= b
             {y=y(t)
      
    donde x, y : [a,b]→R, son funciones reales continuas.

     
     Ecuacion de la curva parametrizada 

     Observaciones:

    1. Como x(t) y y(t) son continuas en [a,b] y suponemos que la derivada de x(t) y la derivada de y(t) existen y la derivada de z(t) es diferente de cero, entonces la curva es CURVA SUAVE.
    2. Se llama CURVA SUAVE o CURVA DE JORDAN o aquella que no tiene puntos dobles.
    Curva no suave (tiene puntos dobles)

    Curva suave

        3.  Se llama CURVA SUAVE POR INTERVALOS, a aquella que esta formada por curvas suaves.

    Curva suave por intervalos


    SEMANA 7:
     
    *       Martes 18 de marzo: clase # 12


    PROPIEDADES DE LA INTEGRACÓN EN EL PLANO DE LOS COMPLEJOS:

    1.- si r es una curva suave a intervalos y f(z) es una función continua :
                                                   
    2.- Si existen f(z) ^ g(z) entonces se cumple que :
    3.- Si r es una curva suave , representada por z=z(t) pata a<t<b y f(z) es continua en C , entonces :
    CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO

    D es un dominio simplemente conexo si y solamente si contiene puntos de D, en forma práctica que no tiene huecos:
     


    PROPIEDAD 6

    Sea C una curva suave a intervalos de z1 a z2 en un dominio simplemente conexo D. Si f(z) es analítica en D, entonces:

       

    *     Viernes 21 de marzo: clase #13

     

    La principal diferencia con las integrales de lineas es que la curva suave es una curva cerrada.
     
    Se presentan los teoremas e integrales de Cauchy, como propios de integrales complejas.
     
    PROPIEDAD 1: Teorema de la Integral de Cuchy
     
     
     Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D entonces para cualquier contorno cerrado simple contenido en D se tiene:

    \oint_C f(z)dz = 0


    PROPIEDAD 2


    Si f es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces, es independiente de la trayectoria

     

    SEMANA 8:

    *     Martes 25 de marzo:

     

      PROPIEDAD 3: Teorema de la Deformacion


     Sea f una función analítica en un dominio D excepto en z0 y sean C y S curvas cerradas simples que encierran a z0 


     
    PROPIEDAD 4: Integral de Cuchy
    Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto z_0 \, contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene

                                                            \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\cdot f(z_0)

     
     
    PROPIEDAD 5: Formula de la Integral de Cuchy para derivadas superiores
    Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Sea C cualquier curva cerrada simple en D, que encierre a z0 entonces:

     

    *     Viernes 28 de Marzo

    Evaluacion, segunda prueba del bimestre

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