FEBRERO

SEMANA 1:

*     Martes 4 de febrero: CLASE #1
Se dio indicaciones acerca de como llevar la materia durante todo el semestre. Indicaciones acerca de los servicios web a utilizar. Presentación de la profesora.

*     Viernes 7 de febrero: CLASE #2

NÚMEROS COMPLEJOS



Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos, siendo  el conjunto de los reales. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.


Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
  • Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c,\, b+d)
  • Producto por escalar
r(a, b) = (ra,\, rb)
  • Multiplicación
(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
  • Igualdad
(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
  • Resta
(a, b) - (c, d) = (a-c,\, b-d)
  • División
\frac{(a, b)}{(c, d)} = {(ac+bd,\,bc-ad) \over c^2+d^2} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2} , {bc - ad \over c^2 + d^2}\right)

 

El conjugado de un complejo z (denotado como \bar{z} ó z^* \,\!) es un nuevo número complejo, definido así:
\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b


SEMANA 2:

*     Martes 11 de febrero: CLASE #3

- El  módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
|z| = \sqrt{z z^*} = \sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}

- Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,
donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que
, .
 
*     Viernes 14 de febrero: CLASE #4

- Potenciación con numeros complejos:
   - en forma polar: http://www.ditutor.com/numeros_complejos/potencia_complejos.html
   - en forma triangular: http://www.youtube.com/watch?v=ACJdcj-XvCk
- Teorema de Moivre
- Serie de Mc Laurin
- Formula de Euler


SEMANA 3:

*    Martes  18 de febrero: CLASE #5

- transformacion de la forma logarítmica de un número complejo a la forma trigonométrica:


  http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_complejo

 - propiedades del logarítmo de un complejo:


*     Viernes 21 de febrero: CLASE #6

- Funciones de variable compleja:

El conjunto de salida y de llegada son los complejos.
Para calcular la imagen se lo realiza como en las funciones reales.

- Límites de funciones de variable compleja:
 - Demostración de la existenia de un límite:




- Propiedades:






SEMANA 4:

*     Martes 25 de febrero: CLASE #7

- Continuidad en una función de variable compleja:



Una vez estudiada la noción de límite de una función de variable compleja, pasamos a abordar la continuidad de las misma. Como en el caso real una función f : A ⊆ C → C se dirá continua en z0 ∈ A si existe el límite de f(z) cuando z → z0 y además limz→0f(z)=f(z0).

La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A.

Como no podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas las funciones coordenadas Re f e Im f.
 

*    Viernes 28 de febrero: CLASE #8

- Derivación de funciones de variable compleja:
 




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